Remkomplekty.ru

IT Новости из мира ПК
18 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Схема горнера паскаль

Схема Горнера

Схема Горнера – способ деления многочлена

на бином $x-a$. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число $a$, взятое из бинома $x-a$:

После деления многочлена n-ой степени на бином $x-a$, получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна $n-1$. Непосредственное применение схемы Горнера проще всего показать на примерах.

Разделить $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$, используя схему Горнера.

Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$, расположенные по убыванию степеней переменной $x$. Заметьте, что данный многочлен не содержит $x$ в первой степени, т.е. коэффициент перед $x$ в первой степени равен 0. Так как мы делим на $x-1$, то во второй строке запишем единицу:

Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число $5$, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:

Следующую ячейку заполним по такому принципу: $1cdot 5+5=10$:

Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: $1cdot 10+1=11$:

Для пятой ячейки получим: $1cdot 11+0=11$:

И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: $1cdot 11+(-11)=0$:

Задача решена, осталось только записать ответ:

Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. Естественно, что так как степень исходного многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ равнялась четырём, то степень полученного многочлена $5x^3+10x^2+11x+11$ на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остаток от деления многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. В нашем случае остаток равен нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ равно нулю.

Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ равно нулю, то единица является корнем многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$.

Разделить многочлен $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ по схеме Горнера.

Сразу оговорим, что выражение $x+3$ нужно представить в форме $x-(-3)$. В схеме Горнера будет учавствовать именно $-3$. Так как степень исходного многочлена $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ равна четырём, то в результате деления получим многочлен третьей степени:

Полученный результат означает, что

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^3+4x-17)+4$$

В этой ситуации остаток от деления $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ равна $4$. Или, что то самое, значение многочлена $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ при $x=-3$ равно $4$. Кстати, это несложно перепроверить непосредственной подстановкой $x=-3$ в заданный многочлен:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 cdot (-3)^3-5 cdot (-3)-47=4.$$

Т.е. схему Горнера можно использовать, если необходимо найти значение многочлена при заданном значении переменной. Если наша цель – найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз подряд, – до тех пор, пока мы не исчерпаем все корни, как рассмотрено в примере №3.

Найти все целочисленные корни многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$, используя схему Горнера.

Коэффициенты рассматриваемого многочлена есть целые числа, а коэффициент перед старшей степенью переменной (т.е. перед $x^6$) равен единице. В этом случае целочисленные корни многочлена нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей числа 45. Для заданного многочлена такими корнями могут быть числа $45; ; 15; ; 9; ; 5; ; 3; ; 1$ и $-45; ; -15; ; -9; ; -5; ; -3; ; -1$. Проверим, к примеру, число $1$:

Как видите, значение многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ при $x=1$ равно $192$ (последнее число в второй строке), а не $0$, посему единица не является корнем данного многочлена. Так как проверка для единицы окончилась неудачей, проверим значение $x=-1$. Новую таблицу для этого составлять не будем, а продолжим использование табл. №1, дописав в нее новую (третью) строку. Вторую строку, в которой проверялось значение $1$, выделим красным цветом и в дальнейших рассуждениях использовать её не будем.

Можно, конечно, просто переписать таблицу заново, но при заполнении вручную это займет немало времени. Тем более, что чисел, проверка которых окончится неудачей, может быть несколько, и каждый раз записывать новую таблицу затруднительно. При вычислении «на бумаге» красные строки можно просто вычёркивать.

Итак, значение многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ при $x=-1$ равно нулю, т.е. число $-1$ есть корень этого многочлена. После деления многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ на бином $x-(-1)=x+1$ получим многочлен $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$, коэффициенты которого взяты из третьей строки табл. №2 (см. пример №1). Результат вычислений можно также представить в такой форме:

Продолжим поиск целочисленных корней. Теперь уже нужно искать корни многочлена $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Опять-таки, целочисленные корни этого многочлена ищут среди делителей его свободного члена, – числа $45$. Попробуем ещё раз проверить число $-1$. Новую таблицу составлять не будем, а продолжим использование предыдущей табл. №2, т.е. допишем в нее еще одну строку:

Итак, число $-1$ является корнем многочлена $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Этот результат можно записать так:

Учитывая равенство (2), равенство (1) можно переписать в такой форме:

Теперь уже нужно искать корни многочлена $x^4-22x^2+24x+45$, – естественно, среди делителей его свободного члена (числа $45$). Проверим еще раз число $-1$:

Число $-1$ является корнем многочлена $x^4-22x^2+24x+45$. Этот результат можно записать так:

С учетом равенства (4), равенство (3) перепишем в такой форме:

Теперь ищем корни многочлена $x^3-x^2-21x+45$. Проверим еще раз число $-1$:

Проверка окончилась неудачей. Выделим шестую строку красным цветом и попробуем проверить иное число, например, число $3$:

В остатке ноль, посему число $3$ – корень рассматриваемого многочлена. Итак, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Теперь равенство (5) можно переписать так:

Читать еще:  Метод дихотомии паскаль

Проверим ещё раз число $3$:

Полученный результат можно записать так (это продолжение равенства (6)):

Из последней скобки видно, что число $-5$ также является корнем данного многочлена. Можно, конечно, формально продолжить схему Горнера, проверив значение $x=-5$, но необходимости в этом нет. Итак,

Числа $-1; ; 3; ; 5$ – корни данного многочлена. Причем, так как скобка $(x+1)$ в третьей степени, то $-1$ – корень третьего порядка; так как скобка $(x-3)$ во второй степени, то $3$ – корень второго порядка; так как скобка $(x+5)$ в первой степени, то $x=-5$ – корень первого порядка (простой корень).

Вообще, обычно оформление таких примеров состоит из таблицы, в которой перебираются возможные варианты корней, и ответа:

Из таблицы следует вывод, полученный нами ранее с подробным решением:

Убедиться, что числа $2$ и $-5$ являются корнями многочлена $3x^6+9x^5-28x^4+6x^3-30x^2-30x+100$. Разделить заданный многочлен на биномы $x-2$ и $x+5$.

Степень многочлена $3x^6+9x^5-28x^4+6x^3-30x^2-30x+100$ равна $6$. После деления на два заданных бинома степень заданного многочлена уменьшится на $2$, т.е. станет равна $4$.

Конечно, данный метод подбора малоэффективен в общем случае, когда корни не являются целыми числами, но для целочисленных корней метод довольно-таки неплох.

Программа 1.3 Расчет значения полинома по схеме Горнера с использованием указателя

Дата добавления: 2014-02-04 ; просмотров: 3567 ; Нарушение авторских прав

Таблица 1. Границы размеров задач в зависимости от сложности алгоритма

Таблица 2. Эффект стократного увеличения скорости счёта

Видно, что для алгоритма A5 стократное увеличение скорости увеличивает размер задачи, которую можно решить за то же время, только на 6, тогда как для алгоритма A3 размер задачи удесятеряется.

Вместо эффекта увеличения скорости рассмотрим эффект применения более действенного алгоритма. Вернёмся к таблице 1. Если в качестве основы сравнения взять 1 минуту, то, заменяя алгоритм A4 алгоритмом A3, можно решить задачу в 6 раз бóльшую, а, заменяя A4 на A2, можно решить задачу, бóльшую в 125 раз. Эти результаты производят гораздо бóльшее впечатление, чем пятикратное улучшение, достигаемое за счёт 100-кратного увеличения скорости. Если в качестве основы для сравнения взять один час, то различие оказывается еще более значительным. Отсюда можно заключить, что асимптотическая сложность алгоритма служит важной мерой качества алгоритма, причем такой мерой, которая обещает стать еще важнее при последующем увеличении скорости вычислений.

Но необходимо учитывать не только порядок n, но и константу c, которая тоже может влиять на качество алгоритма. Предположим, что временные сложности алгоритмов A1, …, A5 в действительности равны соответственно 1000×n, 100×n×logn, 10×n 2 , n 3 и 2 n . Тогда A5 будет наилучшим для задач размера 2£n£9, A3 — для 10£n£58, A2 — для 59£n£1024, A1 — для n>1024.

Пример 1.1. Составить на языке C программу расчета значения полинома по заданным степени полинома, его коэффициентам и величине x.

Требуется вычислить значение:

по заданным: a, a1, …, an; степени полинома n и значению x. Попробуем написать программу для этой процедуры в виде функции на языке C, не вдаваясь в подробности ввода указанной информации.

Сначала составим программу, пользуясь прямым алгоритмом, не учитывая особенности машинных программ.

// Программа 1.1

double Polinom_Calculation(double Array[], unsigned int Order, double Value)

/* Функция расчета значения полинома по заданным коэффициентам, степени

полинома и значению переменной x. */

double p=Array[0];

unsigned int index;

/* Array — массив коэффициентов полинома a, a1,…, an; Order — степень полинома;

Value — значение переменной x, для которого рассчитывается Pn(x);

p и index — вспомогательные переменные. */

Выражение (1.2) не требует операций возведения в степень. Составим программу для этого алгоритма.

// Программа 1.2

double Polinom_Calculation_Horner(double Array[], unsigned int Order, double Value)

/* Функция расчета по схеме Горнера значения полинома по заданным

коэффициентам, степени полинома и значению переменной x. */

double p=Array[Order];

unsigned int index;

/* Array — массив коэффициентов полинома a0, a1, …, an; Order — степень полинома;

Value — значение переменной x, для которого рассчитывается Pn(x);

p и index — вспомогательные переменные. */

for (index=Order; index; index—)

p=p*Value+Array[index-1];

return p;

>//Полином Polinom_Calculation_Horner

Сравнивая первый и второй алгоритмы, можно заметить, что второй требует тоже n сложений и n умножений, но операции возведения в степень в нем отсутствуют. Поэтому по временной сложности второй метод предпочтительнее первого.

Но возникает вопрос, нельзя ли составить программу более быстрого вычисления значения полинома, чем программа 1.2, приведённая выше? Алгоритм Горнера является оптимальным для неветвящихся программ, поэтому ещё сократить время вычислений можно только, учитывая особенности работы компилятора алгоритмического языка программирования. Резерв имеется следующий. Для вычисления значения полинома оба описанных алгоритма в цикле используют элемент Array[index]. То есть программа в каждом шаге цикла отыскивает соответствующий элемент массива полиномиальных коэффициентов. Поиск элемента в массиве достаточно медленная операция, поэтому её желательно заменить более быстрой. В языке C для этого имеются указатели на элементы массива. С их помощью можно составить следующую программу.

double Polinom_Calculation_Fast(double Array[], unsigned int Order, double Value)

/* Функция расчета по схеме Горнера значения полинома по заданным коэффициентам,

степени полинома и значения переменной x. */

double p, *ptr;

unsigned int index;

/* Array — массив коэффициентов полинома a, a1, …, an; Order — степень полинома;

Value — значение переменной x, для которого рассчитывается Pn(x);

p и index — вспомогательные переменные; *ptr — указатель на элемент массива */

p=*ptr—;

for (index=Order; index; index—)<

Читать еще:  Паскаль обучение с нуля

p*=Value; p+=*ptr—;>

return p;

>//Конец Polinom_Calculation_Fast

Для проверки скорости работы описанных вариантов программы был проведён численный эксперимент. По заданным коэффициентам полинома и величине x были проведены расчеты значений полинома в 1000 точках при различных степенях полиномов. Результаты времени счёта программ на IBM-совместимой ЭВМ с процессором Intel 80286 в миллисекундах показаны в таблице 3. ð

Схема Горнера. Корни многочлена

Разделы: Математика

Цели урока:

  • научить учащихся решать уравнения высших степеней используя схему Горнера;
  • воспитывать умение работать в парах;
  • создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;
  • помочь ученику оценить свой потенциал, развивать интерес к математике, умение мыслить, высказываться по теме.

Оборудование: карточки для работы в группах, плакат со схемой Горнера.

Метод обучения: лекция, рассказ, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: проверка задач самостоятельного решения, самостоятельная работа.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний учащихся

— Какая теорема позволяет определить, является ли число корнем данного уравнения (сформулировать теорему)?

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-с равен Р(с), число с называют корнем многочлена Р(х), если Р(с)=0. Теорема позволяет, не выполняя операцию деления, определить, является ли данное число корнем многочлена.

— Какие утверждения облегчают поиск корней?

а) Если старший коэффициент многочлена равен единице, то корни многочлена следует искать среди делителей свободного члена.

б) Если сумма коэффициентов многочлена равна 0, то один из корней равен 1.

в)Если сумма коэффициентов стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах, то один из корней равен -1.

г) Если все коэффициенты положительны, то корнями многочлена являются отрицательные числа.

д) Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Изучение нового материала

При решении целых алгебраических уравнений приходиться находить значения корней многочленов. Эту операцию можно существенно упростить, если проводить вычисления по специальному алгоритму, называемому схемой Горнера. Эта схема названа в честь английского ученого Уильяма Джорджа Горнера. Схема Горнера это алгоритм для вычисления частного и остатка от деления многочлена Р(х) на х-с. Кратко, как он устроен.

Пусть дан произвольный многочлен Р(х)=ах n + а1х n-1 + …+ аn-1х+ аn. Деление этого многочлена на х-с – это представление его в виде Р(х)=(х-с)g(х) + r(х). Частное g(х)=вх n-1 + вnх n-2 +…+вn-2х + вn-1, где в, вn=свn-1n, n=1,2,3,…n-1. Остаток r(х)= свn-1n . Этот метод вычисления и называется схемой Горнера. Слово « схема» в названии алгоритма связана с тем, что обычно его выполнение оформляют следующим образом. Сначала рисуют таблицу 2(n+2). В левой нижней клетке записывают число с, а в верхней строке коэффициенты многочлена Р(х). При этом левую верхнюю клетку оставляют пустой.

Вычисление функций на последовательностях

Значения «минус» и «плюс бесконечность»

Как реализовать воображаемые элементы «минус бесконечность» и «плюс бесконечность» при программировании на конкретных алгоритмических языках, а не на псевдокоде? Вспомним, что компьютер может представлять не все возможные числа, а только их ограниченное подмножество . Поэтому для компьютера существует минимальное и максимальное целое и вещественное числа. В языке Си эти константы записаны в стандартных заголовочных файлах » limits.h » для целочисленных типов и » float.h » для вещественных типов. Для типа int эти константы называются INT_MIN и INT_MAX .

Для вещественных типов максимальное и минимальное числа равны по абсолютной величине и отличаются лишь знаками, поэтому специального названия для максимальной по абсолютной величине отрицательной константы не существует. Максимальное число типа float называется FLT_MAX , типа double — DBL_MAX .

Стоит отметить, что через FLT_MIN и DBL_MIN обозначены минимальные положительные числа, а вовсе не максимальные по абсолютной величине отрицательные!

Итак, в качестве значений «минус бесконечность» и «плюс бесконечность» можно использовать константы INT_MIN и INT_MAX для типа int . Для типа double в качестве значений «минус бесконечность» и «плюс бесконечность» можно использовать выражения ( -DBL_MAX ) и DBL_MAX . Не забудьте только при программировании на Си подключить стандартные заголовочные файлы:

для целых типов и

для вещественных. Впрочем, вовсе не обязательно помнить названия этих констант и имена стандартных заголовочных файлов. В качестве значения «минус бесконечность» всегда можно использовать произвольное значение , заведомо меньшее, чем любое конкретное число, которое может встретиться в программе. Например, если известно, что программа работает только с неотрицательными числами, то в качестве значения «минус бесконечность» можно использовать произвольное отрицательное число, например, минус единицу. Аналогично, в качестве значения «плюс бесконечность» можно применять любое достаточно большое число. Оно должно быть заведомо больше, чем все конкретные числа, которые могут встретиться в алгоритме. Пусть, например, известно, что в программе могут встретиться вещественные числа не больше миллиона. Тогда в качестве значения «плюс бесконечность» можно использовать константу

т.е. десять в тридцатой степени. (Можно даже использовать 1.0e+7 , т.е. десять миллионов, но не стоит мелочиться.)

Схема Горнера

Рассмотрим еще один важный пример функции на последовательности. Пусть дана последовательность коэффициентов многочлена p(x) по убыванию степеней:

Нужно вычислить значение многочлена в точке x = t . Алгоритм , основанный на просмотре последовательности коэффициентов в направлении от старшего к младшему, называется схемой Горнера . Проиллюстрируем его идею на примере многочлена третьей степени:

Его можно представить в виде

Читать еще:  Сортировка змейкой паскаль

Для вычисления значения многочлена достаточно трех умножений и трех сложений. В общем случае, многочлен представляется в следующем виде:

Обозначим через pk(x) многочлен k -ой степени, вычисленный по коэффициентам a, a1, . ak :

т.е. при считывании нового коэффициента многочлена надо старое значение многочлена умножить на значение x , а затем прибавить к нему новый коэффициент.

Схема Горнера. Корни многочлена

Как организовать дистанционное обучение во время карантина?

Помогает проект «Инфоурок»

Схема Горнера. Корни многочлена

научить учащихся решать уравнения высших степеней используя схему Горнера;

воспитывать умение работать в парах;

создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;

помочь ученику оценить свой потенциал, развивать интерес к математике, умение мыслить, высказываться по теме.

Оборудование: карточки для работы в группах, плакат со схемой Горнера.

Метод обучения: лекция, рассказ, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: проверка задач самостоятельного решения, самостоятельная работа.

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний учащихся

— Какая теорема позволяет определить, является ли число корнем данного уравнения (сформулировать теорему)?

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-с равен Р(с), число с называют корнем многочлена Р(х), если Р(с)=0. Теорема позволяет, не выполняя операцию деления, определить, является ли данное число корнем многочлена.

— Какие утверждения облегчают поиск корней?

а) Если старший коэффициент многочлена равен единице, то корни многочлена следует искать среди делителей свободного члена.

б) Если сумма коэффициентов многочлена равна 0, то один из корней равен 1.

в)Если сумма коэффициентов стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах, то один из корней равен -1.

г) Если все коэффициенты положительны, то корнями многочлена являются отрицательные числа.

д) Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Изучение нового материала

При решении целых алгебраических уравнений приходиться находить значения корней многочленов. Эту операцию можно существенно упростить, если проводить вычисления по специальному алгоритму, называемому схемой Горнера. Эта схема названа в честь английского ученого Уильяма Джорджа Горнера. Схема Горнера это алгоритм для вычисления частного и остатка от деления многочлена Р(х) на х-с. Кратко, как он устроен.

Пусть дан произвольный многочлен Р(х)=а х n + а 1 х n-1 + …+ а n-1 х+ а n . Деление этого многочлена на х-с – это представление его в виде Р(х)=(х-с)g(х) + r(х). Частное g(х)=в х n-1 + в n х n-2 +…+в n-2 х + в n-1 , где в , в n =св n-1n , n=1,2,3,…n-1. Остаток r(х)= св n-1n . Этот метод вычисления и называется схемой Горнера. Слово « схема» в названии алгоритма связана с тем, что обычно его выполнение оформляют следующим образом. Сначала рисуют таблицу 2(n+2). В левой нижней клетке записывают число с, а в верхней строке коэффициенты многочлена Р(х). При этом левую верхнюю клетку оставляют пустой.

Число, которое после выполнения алгоритма оказывается записанным в правой нижней клетке, и есть остаток от деления многочлена Р(х) на х-с. Другие числа в , в 1 , в 2 ,… нижней строки являются коэффициентами частного.

Например : Разделить многочлен Р(х)= х 3 -2х+3 на х-2.

2. 3. 4. Получаем, что х 3 -2х+3=(х-2) (х 2 +2х+2) + 7.

4. Закрепление изученного материала

Пример 1: Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен Р(х)=2х4-7х 3 -3х 2 +5х-1.

Ищем целые корни среди делителей свободного члена -1: 1; -1. Составим таблицу:

Р(х)= (х+1) (2х 3 -9х 2 +6х -1)

Следовательно, многочлен Р(х) можно представить в виде

Р(х)= (х+1) (х-1/2) (х 2 -8х +2) = (х+1) (2х -1) (х 2 — 4х +1)

Пример 2: Решить уравнение 2х 4 — 5х 3 + 5х 2 — 2 = 0

Так как сумма коэффициентов многочлена , записанного в левой части уравнения, равна нулю, то один из корней 1. Воспользуемся схемой Горнера:

Получаем Р(х)=(х-1) (2х 3 -3х 2 =2х +2). Будем искать корни среди делителей свободного члена 2. Выяснили, что целых корней больше нет. Проверим 1/2; -1/2. Итак (х-1) (х+1/2) (2х 2 – 4х +4)=0. Далее решаем квадратное уравнение 2х 2 -4х +4 = 0. Д/4=1-2= -1. Значит это уравнение корней не имеет.

Пример 3: Решить уравнение 5х 4 – 3х 3 – 4х 2 -3х+ 5 = 0.

Корни данного уравнения будем искать среди делителей свободного члена 5: 1;-1;5;-5. х=1 — корень уравнения, так как сумма коэффициентов равна нулю. Воспользуемся схемой Горнера:

Можно записать (х-1) (5х 3 +2х 2 -2х-5)=0. Для 5х 3 +2х 2 -2х-5=0 х=1 также является корнем и уравнение представим в виде произведения трех множителей: (х-1) (х-1) (5х 2 -7х + 5)=0. Решая квадратное уравнение 5х 2 -7х+5=0, получили Д=49-100=-51, корней нет.

Далее работа в парах по карточкам.

Разложите на множители многочлен: х 4 +3х 3 -5х 2 -6х-8

Решите уравнение: 27х 3 -15х 2 +5х-1=0

Разложите на множители многочлен: х 4 -х 3 -7х 2 +13х-6

Решите уравнение: х 4 +2х 3 -13х 2 -38х-24=0

Разложите на множители: 2х 3 -21х 2 +37х+24

Решите уравнение: х 3 -2х 2 +4х-8=0

Разложите на множители: 5х 3 -46х 2 +79х-14

Решите уравнение: х 4 +5х 3 +5х 2 -5х-6=0

5. Подведение итогов

Проверка знаний при решении в парах осуществляется на уроке путем узнавания способа действия и названия ответа.

а) х 4 -3х 3 +4х 2 -3х+1=0

б) 5х 4 -36х 3 +62х 2 -36х+5=0

в) х 4 +х 3 +х+1=4х 2

Н.Я. Виленкин и др., Алгебра и начала анализа 10 класс (углубленное изучение математики): Просвещение, 2005.

У.И. Сахарчук, Л.С. Сагателова, Решение уравнений высших степеней: Волгоград, 2007.

С.Б. Гашков, Системы счисления и их применение.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector