Паскаль метод крамера

Метод Крамера. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Решение системы уравнений методом Крамера проходит за три шага простого алгоритма:

1. Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. $Deltaneq 0$.
2. Для каждой переменной $x_i$($i=overline<1,n>$) необходимо составить определитель $Delta_$, полученный из определителя $Delta$ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.
3. Найти значения неизвестных по формуле $x_i=frac>>$ ($i=overline<1,n>$).

Перед переходом к чтению примеров рекомендую ознакомиться с правилами вычисления определителей второго и третьего порядка, изложенными здесь.

Матрица системы такова: $ A=left( begin 3 & 2\ -1 & 5 end right) $. Определитель этой матрицы $Delta=left| begin 3 & 2\ -1 & 5 endright|=3cdot 5-2cdot(-1)=17$. Как вычисляется определитель второго порядка можете глянуть здесь.

Так как определитель системы не равен нулю, то продолжаем решение методом Крамера. Вычислим значения двух определителей: $Delta_$ и $Delta_$. Определитель $Delta_$ получаем из определителя $Delta=left| begin 3 & 2\ -1 & 5 endright|$ заменой первого столбца (именно первый столбец содержит коэффициенты при $x_1$) столбцом свободных членов $left(begin -11\ 15endright)$:

Аналогично, заменяя второй столбец в $Delta=left|begin3&2\-1&5endright|$ столбцом свободных членов, получим:

Теперь можно найти значения неизвестных $x_1$ и $x_2$.

В принципе, можно ещё проверить, правильно ли решена система методом Крамера. Подставим в заданную СЛАУ $x_1=-5$, $x_2=2$:

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно. Осталось лишь записать ответ.

Определитель системы: $Delta=left| begin 2 & 1 & -1\ 3 & 2 & 2 \ 1 & 0 & 1 endright|=4+2+2-3=5$. Как вычисляется определитель третьего порядка можете глянуть здесь.

Заменяя первый столбец в $Delta$ столбцом свободных членов, получим $Delta_$:

$$ Delta_=left| begin 3 & 1 & -1\ -7 & 2 & 2 \ -2 & 0 & 1 endright|=6-4-4+7=5. $$

Заменяя второй столбец в $Delta$ столбцом свободных членов, получим $Delta_$:

$$ Delta_=left| begin 2 & 3 & -1\ 3 & -7 & 2 \ 1 & -2 & 1 endright|=-14+6+6-7-9+8=-10. $$

Заменяя третий столбец в $Delta$ столбцом свободных членов, получим $Delta_$:

$$ Delta_=left| begin 2 & 1 & 3\ 3 & 2 & -7 \ 1 & 0 & -2 endright|=-8-7-6+6=-15. $$

Учитывая все вышеизложенное, имеем:

Метод Крамера завершён. Можно проверить, верно ли решена система уравнений методом Крамера, подставив значения $x_1=1$, $x_2=-2$ и $x_3=-3$ в заданную СЛАУ:

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно.

Решить СЛАУ $left & 2x_1+3x_2-x_3=15;\ & -9x_1-2x_2+5x_3=-7. endright.$ используя метод Крамера.

Матрица системы $ left( begin 2 & 3 & -1\ -9 & -2 & 5 end right) $ не является квадратной. Однако это вовсе не означает, что решение системы уравнений методом Крамера невозможно. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменную $x_3$ в правые части уравнений:

Теперь матрица системы $ left( begin 2 & 3 \ -9 & -2 end right) $ стала квадратной, и определитель её $Delta=left| begin 2 & 3\ -9 & -2 endright|=-4+27=23$ не равен нулю. Применим метод Крамера аналогично предыдущим примерам:

Ответ можно записать в таком виде: $left & x_1=frac<13x_3-9><23>;\ & x_2=frac<-x_3+121><23>;\ & x_3in R. endright.$ Переменные $x_1$, $x_2$ – базисные (в иной терминологии – основные), а переменная $x_3$ – свободная (в иной терминологии – неосновная). Проверка, при необходимости, проводится так же, как и в предыдущих примерах.

Матрица системы $left(begin 1 & -5 & -1 & -2 & 3 \ 2 & -6 & 1 & -4 & -2 \ -1 & 4 & 5 & -3 & 0 endright)$ не является квадратной. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменные $x_4$, $x_5$ в правые части уравнений, и применим метод Крамера:

Естественно, что применение метода Крамера в случаях вроде того, что рассмотрен в примере №4, не всегда оправдано с точки зрения временных затрат. Мы ведь не можем гарантировать, что после переноса каких-либо переменных в правые части уравнений, определитель системы не будет равен нулю. А перебирать различные варианты – слишком долгий процесс. Гораздо удобнее в таком случае применить метод Гаусса. Я привёл пример №4 лишь с одной целью – показать, что метод Крамера применим вне зависимости от содержимого правых частей уравнений заданной СЛАУ (числа, переменные, функции – не имеет значения). Главное, чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.

учимся
программировать

Программированию нельзя научить, можно только научится

Главная » Уроки по Численным методам » Урок 15. Решение СЛУ методом Крамера и методом Гаусса.

Урок 15. Решение СЛУ методом Крамера и методом Гаусса.

Метод Крамера

(СЛУ)
— определитель системы
Если определитель СЛУ отличен от нуля, тогда решение системы определяется однозначно по формулам Крамера:
, , ()
где:

Задание 1. Решить СЛУ с помощью формул Крамера в Excel

Ход решения

1. Запишем уравнение в матричном виде:

2. Введите матрицу А и В в Excel.

3. Найдите определитель матрицы А. Он должен получится равным 30.

4. Определитель системы отличен от нуля, следовательно — решение однозначно определяется по формулам Крамера.

5. Заполните значения dX, dY, dZ на листе Excel (см.рис.ниже).

6. Для вычисления значений dX, dY, dZ в ячейки F8, F12, F16 необходимо ввести функцию, вычисляющую определитель dX, dY, dZ соответственно.

7. Для вычисления значения X в ячейку I8 необходимо ввести формулу =F8/B5 (по формуле Крамера dX/|A|).

8. Самостоятельно введите формулы для вычисления Y и Z.

Задание 2: самостоятельно найти решение СЛУ методом Крамера:

Формулы Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений не имеют серьезного практического применения, так как связаны с громоздкими выкладками. Практически для решения систем линейных уравнений чаще всего применяется метод Гаусса.

Метод Гаусса

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов.

1. Прямой ход: система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Для того чтобы решить систему уравнений выписывают расширенную матрицу этой системы

и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, приводя ее к виду, когда ниже главной диагонали будут располагаться нули.
Разрешается выполнять элементарные преобразования над матрицами.
С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной, т.е. такой системы, решение которой совпадает с решением исходной системы.

2. Обратный ход: идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Пример. Установить совместность и решить систему

Решение.
Прямой ход: Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую строки для того, чтобы элемент равнялся единице (так удобнее производить преобразования матрицы).

.

Имеем Ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы совпали с числом неизвестных. Согласно теореме Кронекера-Капелли система уравнений совместна и решение ее единственно.
Обратный ход: Выпишем систему уравнений, расширенную матрицу которой мы получили в результате преобразований:

Итак, имеем .
Далее, подставляя в третье уравнение, найдем .
Подставляя и во второе уравнение, получим .
Подставляя в первое уравнение найденные получим .
Таким образом, имеем решение системы .

Решение СЛУ методом Гаусса в Excel:

В тексте будет предлагаться ввести в диапазон ячеек формулу вида: <=A1:B3+$C$2:$C$3>и т.п., это так-называемые «формулы массива». Microsoft Excel автоматически заключает ее в фигурные скобки ( < >). Для введения такого типа формул необходимо выделить весь диапазон, куда нужно вставить формулу, в первой ячейке ввести формулу без фигурных скобок (для примера выше – =A1:B3+$C$2:$C$3) и нажать Ctrl+Shift+Enter.
Пускай имеем систему линейных уравнений:

1. Запишем коэффициенты системы уравнений в ячейки A1:D4 а столбец свободных членов в ячейки E1:E4. Если в ячейке A1 находится 0, необходимо поменять строки местами так, чтоб в этой ячейке было отличное от ноля значение. Для большей наглядности можно добавить заливку ячеек, в которых находятся свободные члены.

2. Необходимо коэффициент при x1 во всех уравнениях кроме первого привести к 0. Для начала сделаем это для второго уравнения. Скопируем первую строку в ячейки A6:E6 без изменений, в ячейки A7:E7 необходимо ввести формулу: <=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)>. Таким образом мы от второй строки отнимаем первую, умноженную на A2/$A$1, т.е. отношение первых коэффициентов второго и первого уравнения. Для удобства заполнения строк 8 и 9 ссылки на ячейки первой строки необходимо использовать абсолютные (используем символ $).

3. Копируем введенную формулу формулу в строки 8 и 9, таким образом избавляемся от коэффициентов перед x1 во всех уравнениях кроме первого.

4. Теперь приведем коэффициенты перед x2 в третьем и четвертом уравнении к 0. Для этого скопируем полученные 6-ю и 7-ю строки (только значения) в строки 11 и 12, а в ячейки A13:E13 введем формулу <=A8:E8-$A$7:$E$7*(B8/$B$7)>, которую затем скопируем в ячейки A14:E14. Таким образом реализуется разность строк 8 и 7, умноженных на коэффициент B8/$B$7. Не забываем проводить перестановку строк, чтоб избавиться от 0 в знаменателе дроби.

5. Осталось привести коэффициент при x3 в четвертом уравнении к 0, для этого вновь проделаем аналогичные действия: скопируем полученные 11, 12 и 13-ю строки (только значения) в строки 16-18, а в ячейки A19:E19 введем формулу <=A14:E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)>. Таким образом реализуется разность строк 14 и 13, умноженных на коэффициент C14/$C$13. Не забываем проводить перестановку строк, чтоб избавиться от 0 в знаменателе дроби.

6. Прямая прогонка методом Гаусса завершена. Обратную прогонку начнем с последней строки полученной матрицы. Необходимо все элементы последней строки разделить на коэффициент при x4. Для этого в строку 24 введем формулу <=A19:E19/D19>.

7. Приведем все строки к подобному виду, для этого заполним строки 23, 22, 21 следующими формулами:

23: <=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18>– отнимаем от третьей строки четвертую умноженную на коэффициент при x4 третьей строки.

22: <=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17>– от второй строки отнимаем третью и четвертую, умноженные на соответствующие коэффициенты.

21: <=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16>– от первой строки отнимаем вторую, третью и четвертую, умноженные на соответствующие коэффициенты.

Результат (корни уравнения) вычислены в ячейках E21:E24.

Паскаль метод крамера

Дадим ряд необходимых определений.

Система линейных уравнений называется неоднородной, если хотя бы один ее свободный член отличен от нуля, и однородной, если все ее свободные члены равны нулю.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел, который, будучи подставленным вместо переменных в систему, обращает каждое ее уравнение в тождество.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Рассмотрим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений, имеющую при n = m следующий общий вид:

Главной матрицей A системы линейных алгебраических уравнений называется матрица, составленная из коэффициентов, стоящих при неизвестных:

Определитель главной матрицы системы называется главным определителем и обозначается ∆.

Вспомогательный определитель ∆ _i получается из главного определителя путем замены i -го столбца на столбец свободных членов .

Теорема 1.1 (теорема Крамера). Если главный определитель системы линейных алгебраических уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

Если главный определитель ∆=0, то система либо имеет бесконечное множество решений (при всех нулевых вспомогательных определителях), либо вообще решения не имеет (при отличии от нуля хотя бы одного из вспомогательных определителей).

В свете приведенных выше определений , теорема Крамера может быть сформулирована иначе: если главный определитель системы линейных алгебраических уравнений отличен от нуля, то система является совместной определенной и при этом ; если главный определитель нулевой, то система является либо совместной неопределенной (при всех ∆ _i = 0), либо несовместной (при отличии хотя бы одного из ∆ _i от нуля).

После этого следует провести проверку полученного решения.

Пример 1.4. Решить систему методом Крамера

Решение. Так как главный определитель системы

отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители

Воспользуемся формулами Крамера (1.6):

Пример 1.5. Данные дневной выручки молочного цеха от реализации молока, сливочного масла и творога за три дня продаж (на 2017 год) занесены в таблицу 1.4.

Определить стоимость 1 единицы продукции молокоцеха каждого вида.

Решение. Обозначим через x – стоимость 1 литра молока, y – 1 кг сливочного масла, z – 1 кг творога. Тогда, учитывая данные таблицы 1.4, выручку молочного цеха каждого из трех дней реализации можно отобразить следующей системой:

Решим систему методом Крамера. Найдем главный определитель системы по формуле (1.2):

Так как он отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители с помощью формулы (1.2):

По формулам Крамера (1.6) имеем:

Вернувшись к обозначениям, видим, что стоимость 1 литра молока равна 44 рубля, 1 кг масла – 540 рублей, 1 кг творога – 176 рублей

Примечание. Как видно, процесс вычисления определителей вручную с помощью калькулятора трудоемок, поэтому на практике используют персональный компьютер. Так, для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера в MS Excel высчитывают ее главный и вспомогательные определители с использованием функции МОПРЕД( ), где аргументом является диапазон ячеек и элементы матрицы, определитель которой находится.

В MathCAD для нахождения определителя пользуются палитрой оператора Matrix

Метод Крамера

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = frac$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер крайнего справа столбца.
4. После того как найдены все детерминанты $D_1$. $D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = frac$.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

• Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей — со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

• С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
• При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$begin a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \ end$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = begin a_1 & a_2 & b_1 \ a_3 & a_4 & b_1 \ end$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = begin <|cc|>a_1 & a_2 \ a_3 & a_4 \ end = a_1 cdot a_4 – a_3 cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = begin <|cc|>b_1 & a_2 \ b_2 & a_4 \ end = b_1 cdot a_4 – b_2 cdot a_4$

$D_2 = begin <|cc|>a_1 & b_1 \ a_3 & b_2 \ end = a_1 cdot b_2 – a_3 cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$begin 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\ 2x_1 – x_2 — x_3 = 10 \ end$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = begin <|ccc|>3 & -2 & 4 \3 & 4 & -2 \ 2 & -1 & 1 \ end = 3 cdot 4 cdot (-1) + 2 cdot (-2) cdot 2 + 4 cdot 3 cdot (-1) – 4 cdot 4 cdot 2 – 3 cdot (-2) cdot (-1) — (-1) cdot 2 cdot 3 = — 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = — 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = begin <|ccc|>21 & 2 & 4 \ 9 & 4 & 2 \ 10 & 1 & 1 \ end = 21 cdot 4 cdot 1 + (-2) cdot 2 cdot 10 + 9 cdot (-1) cdot 4 – 4 cdot 4 cdot 10 – 9 cdot (-2) cdot (-1) — (-1) cdot 2 cdot 21 = — 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = — 296$

$D_2 = begin <|ccc|>3 & 21 & 4 \3 & 9 & 2 \ 2 & 10 & 1 \ end = 3 cdot 9 cdot (- 1) + 3 cdot 10 cdot 4 + 21 cdot 2 cdot 2 – 4 cdot 9 cdot 2 – 21 cdot 3 cdot (-1) – 2 cdot 10 cdot 3 = — 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = begin <|ccc|>3 & -2 & 21 \ 3 & 4 & 9 \ 2 & 1 & 10 \ end = 3 cdot 4 cdot 10 + 3 cdot (-1) cdot 21 + (-2) cdot 9 cdot 2 – 21 cdot 4 cdot 2 — (-2) cdot 3 cdot 10 — (-1) cdot 9 cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = — 60$

Найдём искомые величины:

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Как решать СЛАУ методом Крамера за пять простых шагов

Если вы студент младших курсов, то вы наверняка встречались с такими понятиями как матрица и СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений).

На вопрос «Что такое матрицы и откуда они взялись?» мы ответили в этой статье. А сейчас постараемся вам максимально просто и наглядно объяснить, как именно решать эти системы.

И первый способ, который мы разберем – это метод Крамера, названного в честь своего создателя Габриэля Крамера. О короткой, но насыщенной жизни этого ученого вы можете прочитать на нашем сайте.

Перейдем сразу же к практике. Пусть необходимо решить следующую систему уравнений:

Мы должны выделить все числа, которые присутствуют в данной системе (для наглядности мы выделили их разными цветами). Всего их должно быть двенадцать – по четыре в каждой строке. Если у неизвестного нет своего числа, ставим «1».

Выписываем первые три столбца в матрицу. Количество матриц в решении всегда на одну больше, чем количество уравнений, входящих в систему, т.е. в данном случае нам понадобится 4 матрицы:

Теперь мы должны вычислить основной определитель системы.
Обо всех способах вычисления определителя матрицы вы можете узнать здесь.

Если вы получили Δ=0, значит:

Теперь нам необходимо вычислить определители для x, y, z.

4.1. Найдем определитель Δ _x . Для этого подставим вместо красного (первого) столбца желтый столбец свободных членов:

4.2. Найдем определитель Δ _y . Для этого подставим вместо синего (второго) столбца желтый столбец свободных членов:

4.3. Найдем определитель Δ _z . Для этого подставим вместо зеленого (третьего) столбца желтый столбец свободных членов:

Далее попеременно делим Δ _x , Δ _y , Δ _z на Δ и, таким образом, находим решение заданной системы:

Для проверки достаточно подставить полученные числа в систему и доказать равенство всех частей.