Remkomplekty.ru

IT Новости из мира ПК
8 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Квадратурная формула гаусса паскаль

Численное интегрирование

7.3. Кратные интегралы

Рассмотрим, для примера двукратный интеграл по прямоугольной области Аналогично одномерному случаю, в соответствии с формулой прямоугольников (со средней точкой) заменим функцию ее значением в точке пересечения диагоналей прямоугольника. В таком случае получим

Применим теперь формулу Симпсона для вычисления двукратного интеграла путем редукции к методу вычисления одномерного интеграла, зачем представим двойной интеграл как

Сначала применим формулу Симпсона для вычисления внешнего интеграла:

Теперь применим формулу Симпсона для каждого из трех полученных интервалов:

Подставляя приближенные формулы для вычисления интегралов I1, I2, I3 в формулу для вычисления i , получим

Если область интегрирования не является прямоугольной, то ее можно сделать подобластью большей по площади прямоугольной области, которую в свою очередь разбить на прямоугольные ячейки. Ячейки в этом случае разделяются на внутренние, к ним применяются приведенные формулы численного интегрирования, и граничные, не прямоугольные, площади которых вычисляются по более сложным алгоритмам. При этом приближенное значение интеграла, например, при использовании формулы средних, можно записать как где — приближенное значение интегралов по внутренним ячейкам, — по граничным, i, j — номера ячеек с площадями Si и Sj .

7.4. Квадратурные формулы Гаусса

Поскольку формулы Ньютона — Котеса являются интерполяционными, очевидно, что они не могут успешно использоваться для получения формул высокой точности по причине неустойчивости интерполяционного процесса для многочленов высокого порядка. Как отмечалось выше, постоянные Лебега растут с увеличением количества узлов интерполяции для равномерной сетки как 2 N . По этой причине обычно используются полиномы степени от нуля до трех (соответственно, формулы прямоугольников со средней точкой, трапеций, Симпсона, 3/8). Вычисление с их помощью интегралов от функций, обладающих высокой степенью гладкости, например, близким к полиномам высокой степени, представляется нерациональным. В выражение для погрешности этих формул входят первая, вторая или четвертая производные . Погрешность определяется низким порядком производной при высокой степени гладкости интегрируемой функции. Этих недостатков лишены квадратуры Гаусса .

Формулировка задачи построения квадратурных формул, поставленная Гауссом, такова.

Для заданного количества точек, а именно, для (N + 1) точки, найти такое расположение узлов и такие веса ci , чтобы квадратурная формула

была точной для полиномов как можно более высокой степени, т.е. чтобы rN(t) = 0 .

Квадратурные формулы Гаусса

Дата добавления: 2015-06-12 ; просмотров: 3249 ; Нарушение авторских прав

Во всех приведенных до сих пор формулах численного интегрирования Ньютона-Котеса и во всех формулах получаемых методом Ромберга используются равноотстоящие узлы. В случае квадратурных формул Гаусса это уже не так. Иначе говоря смысл квадратурных формул Гаусса состоит в том чтобы при наименьшем возможном числе узлов точно интегрировать многочлены наивысшей возможной степени. Можно показать что при гауссовых узлах по полученной формуле можно точно интегрировать многочлены степени .

(22)

Для количества узлов и соответствующих значений и — составлены таблицы которые позволяют вычислять интегралы по формуле (22).

Для понимания сути этих таблиц рассмотрим пример.

Пример:

Пусть нам нужно составить квадратурную формулу с двумя узлами по которой точно интегрируются многочлены до степень включительно.

Решение: Искомая формула имеет вид:

(23)

где — остаток который обращается в нуль для

при .

Тогда подставляя в (23) имеем:

(24)

Отсюда приравнивая коэффициенты при справа и слева получаем систему уравнений:

(25)

Ее решение имеет вид:

(26)

Следовательно искомая квадратурная формула такова:

.(27)

Ясно что если нам нужно вычислить интеграл со многими узловыми точками действуем следующим образом:

а) промежуток интегрирования делим на — равных промежутков и на каждом маленьком промежутке применяем формулу Гаусса с неравноотстоящими узлами (27);

б) полученные результаты складываем.

В случае когда оказывается что узловыми точками при делении отрезка на — частей являются корни соответствующих многочленов Лежандра.

Для вычисления кратных интегралов их сводят обычно к повторным интегралам а далее применяют те же самые кубатурные формулы для каждого значения узловых точек что и в одномерном случае. Однако надо иметь в виду что кратные интегралы значительно сложнее вычислять с заданной точностью.

Точность произведённых вычислений зависит от точности аппроксимации подынтегральной функции многочленами.

Занятие № 15. Квадратурные формулы Гаусса.

Все формулы численного интегрирования дают результат с некоторой погрешностью. Здесь заметим, что уменьшение погрешности расчета является одной из важнейших задач численных методов.

В предыдущем параграфе рассматривались различные квадратурные формулы для равномерного расположения узлов в интервале интегрирования [a, b]. Оказывается, при фиксированном количестве узлов можно добиться значительного уменьшения погрешности вычисления определенного интеграла, если отказаться от их равномерного расположения.

Для нахождения оптимального расположения узлов (которое обеспечивает уменьшение погрешности численного интегрирования) прежде всего сведем интервал интегрирования общего вида [a, b] к стандартному интервалу [-1, 1] с помощью линейной замены переменной интегрирования:

x = (а + b) / 2 + t (b — а) / 2. (25)

Исходный интеграл приобретет вид:

(26)

где t — новая переменная интегрирования.

В соответствии с общей квадратурной формулой запишем:

(27)

Нашей целью является выбор таких п узлов ti внутри интервала интегрирования [-1, 1] и таких п коэффициентов Ai (i = 1, п), чтобы формула (27) была точной для всех полиномов максимально большой степени. Мы имеем возможность варьировать 2n величин ti и Ai (i=1, …, п), следовательно, эта максимальная степень полинома равна N = 2n — 1.

Далее требуется доказать следующую лемму.

Лемма. Для достижения поставленной цели необходимо и достаточно, чтобы формула (27) выполнялась точно для следующих 2n подынтегральных функций

По условиям леммы выполняются следующие равенства для степенных функций f(t) = t k (k = 0, 1, …, 2п- 1):

(28)

Как было принято выше, подынтегральную функцию f(t) представим в виде полинома степени 2п — 1:

(29)

где Ck — коэффициенты полинома.

Проведем интегрирование полинома (29) по интервалу [-1, 1], используя условие (28) и изменяя порядок суммирования:

Читать еще:  Паскаль размерность в си

(30)

Последнее равенство обусловлено определением (29).

Мы получили, что равенство (27) является точным для полинома вида (29), при этом в ходе преобразований мы воспользовались условиями (28).

Эта лемма обеспечивает справедливость следующего важного утверждения. Пусть нам удастся найти такие числа ti и Ai (i = 1, …, n), обращающие формулу (27) в точную, используя в качестве подынтегральных степенные функции вида t k (k = 0, 1, . 2n — 1). Тогда эти найденные числа ti и Ai обеспечат точность формулы (27) и для любой подынтегральной функции, которая представляется в виде полинома степени 2n — 1.

Теперь в уравнениях (28) проинтегрируем аналитически левые части:

(31)

Сравнение (31) с правыми частями уравнений (28) дает нам систему 2n уравнений для 2n искомых неизвестных ti , Ai (i = 1, . n):

(32)

Система является нелинейной относительно неизвестных ti, Ai (i = 1,…, n). Для ее решения целесообразно воспользоваться свойствами полиномов Лежандра. Краткие сведения о полиномах Лежандра приведены в приложении 1.

Выберем подынтегральные функции f(x) в виде:

(33)

где Pn (t) — полином Лежандра степени n.

Это значит, что все n функций (33) являются полиномами степени ≤ 2n-1. Для таких подынтегральных функций, согласно доказанному выше, формула (27) является точной и коэффициенты Ai (i = 1,…, n) удовлетворяют системе (32).

Применим квадратурную формулу (27) для функций (33):

(34)

В силу свойства ортогональности полиномов Лежандра левые части всех уравнений (34) равны нулю. Следовательно, и правые части (34) будут равны нулю

(35)

при произвольных значениях Ai, если положить Pn (ti) = 0.

Таким образом, оказывается, что в качестве узлов ti следует взять точки нулей полиномов Лежандра степени n. Точки нулей полиномов Лежандра различных степеней рассчитаны с большой точностью и сведены в специальные таблицы. Характерным свойством узлов ti и коэффициентов Ai в данном методе является симметрия их значений относительно центра таблицы t = 0.

Если числа ti известны, то система (32) становится линейной относительно величин Ai. Для ее решения можно применить любой из описанных методов. Численные значения узлов ti и коэффициентов Ai с точностью до восьми знаков для различных n приведены в таблице приложения 2.

Вычислив значения узлов ti и коэффициентов Ai для выбранного n, можно вернуться к исходной переменной интегрирования x и записать квадратурную формулу Гаусса в следующем виде:

(36)

(37)

Точность интегрирования методом Гаусса резко возрастает с увеличением числа узлов в интервале интегрирования [a, b]. Теоретические оценки и расчеты показывают, что для интервалов небольшой величины обычно достаточная точность обеспечивается при n = 8. Соответствующая таблица узлов ti и коэффициентов Ai приведена в приложении 2.

Если диапазон интегрирования [a, b] имеет значительную ширину, его можно разбить на несколько равных поддиапазонов и провести процедуру вычисления интеграла методом Гаусса для каждого поддиапазона отдельно. Интеграл по j-му поддиапазону с границами [aj , bj ] с помощью линейного преобразования (37) представляется в виде суммы, аналогичной (36):

(38)

где

Искомое значение определенного интеграла по полному диапазону [a, b] вычисляется как сумме интегралов (38) по всем поддиапазонам.

Квадратурная формула Гаусса

Обзор квадратурных формул Гаусса, их определение, интегральные конструкции, примеры, четко описывающие квадратуры Гаусса. Особенности использования некоторых алгоритмов, позволяющих отследить ход решений задач, использующих квадратурные формулы Гаусса.

Размещено на https://stud.wiki

Размещено на https://stud.wiki

Задачей численного интегрирования является замена исходной подынтегральной функции , для которой трудно или невозможно записать первообразную в аналитике, некоторой аппроксимирующей функцией . Обычно такой функцией является кусочный полином:

где априорная погрешность метода на интервале интегрирования, а априорная погрешность метода на отдельном шаге интегрирования.

Повышение точности вычисления интегралов выполняется за счет повышения порядка точности квадратур, т.е. повышения степени полиномов, для которых квадратуры точны, за счет разбиения отрезка на части, за счет сведения интегралов от функций с «особенностями» к интегралам от более гладких функций. Методы вычисления однократных интегралов называются квадратурными (для кратных интегралов кубатурными).

В данной работе пойдет речь о квадратурной формуле Гаусса и способах решения задач с помощью этих формул.

1. КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА ГАУССА

1.1 О квадратурной формуле Гаусса

Из оценки , где априорная погрешность метода на интервале интегрирования,

а любой многочлен степени ,

следует, что погрешность квадратуры оценивается через погрешность приближения функции многочленами. Функция приближается многочленами более высокой степени точнее, чем многочленами низшей степени:

Поэтому есть основания обратить внимание на квадратуры, точные для многочленов по возможности более высокой степени.

Рассмотрим следующую оптимизационную задачу. При заданном числе узлов построить квадратуру

точную для многочленов наиболее высокой степени. Такие квадратуры называют квадратурами Гаусса.

Квадратура точна для многочленов степени если она точна для всех функций Следовательно, должны выполняться соотношения:

Получили систему из -го уравнения относительно неизвестных где неизвестные узлы, а неизвестные коэффициенты квадратурной формулы .

При число уравнений не превосходит числа неизвестных, поэтому можно ожидать, что алгебраическая система имеет решение. Можно попытаться построить квадратурные формулы, соответствующие значению , решая эту систему, однако неясно, будут ли узлы квадратур, получаемые из принадлежать отрезку В противном случае может оказаться, что функция не определена в узлах интегрирования и употребление квадратуры невозможно.

1.2 Построение квадратуры

Построим квадратуры, соответствующие максимальному значению

Существует лемма 1:

Если узлы квадратуры точной для всех многочленов степени , то

при произвольном многочлене степени не выше

Далее предполагается, что почти всюду на

Многочлен ортогонален всем многочленам низшей степени, если скалярное произведение задано соотношением:

Поэтому и узлы отыскиваемой квадратуры должны быть нулями Многочлен на имеет различных нулей.

Существует лемма 2:

Пусть нули ортогонального многочлена степени и квадратура, точная для многочленов степени . Тогда квадратура точна для многочленов степени

Теперь можно построить требуемую квадратурную формулу. Для этого зададимся узлами интерполяции в которых и построим квадратуру, точную для многочленов степени . В итоге получим требуемую квадратуру:

Читать еще:  Перевод из десятичной в шестнадцатиричную паскаль

точную для многочленов степени

Если почти всюду то не существует квадратуры, точной для всех многочленов степени В самом деле, возьмем тогда левая часть

Справедлива лемма 3:

Из оценки погрешности на интервале интегрирования и по лемме 3 имеем:

Можно также получить оценку погрешности квадратур Гаусса через Эта оценка имеет вид:

Для практического применения формул Гаусса необходимо иметь в распоряжении узлы и коэффициенты этих квадратур. Можно показать, что для случая четной относительно точки , нули ортогональных многочленов, т.е. узлы квадратур Гаусса, расположены симметрично относительно середины отрезка Поэтому коэффициенты квадратуры Гаусса будут удовлетворять условию четности Это обстоятельство наполовину уменьшает объем таблиц для формул Гаусса.

Если то коэффициенты и числа не зависят от отрезка В самом деле, если многочлен принадлежит системе многочленов, ортогональных с весом на , то многочлен принадлежит системе многочленов, ортогональных с весом на Поэтому он сам, его нули и коэффициенты определяются однозначно, независимо от исходного отрезка

Приведем для сведения параметры квадратур Гаусса для отрезка при В этом случае остаточный член для квадратурной формулы есть

Вследствие свойства симметрии мы указываем лишь неотрицательные и коэффициенты при них (см. приложение 1)

В настоящее время составлены таблицы узлов и весов квадратур Гаусса по крайней мере до десятичными знаками. Вследствие их большого объема, начиная с некоторого их публикуют лишь для

Иногда целесообразно видоизменить идею Гаусса построения квадратур, точных на многочленах максимально высокой степени. Например, пусть требуется вычислить а значение вычисляется существенно быстрее, чем значения в других точках отрезка . Тогда имеет смысл построить квадратуру:

точную для многочленов степени . Если требуется вычислить а значения вычисляются существенно быстрее, чем значения во внутренних точках отрезка , то имеет смысл построить квадратуру:

точную для многочленов степени ; в последнем случае оказывается, что при всех .

Степень многочлена, для которого точна квадратура, определяется числом свободных параметров квадратуры. Квадратура называется квадратурой Лобатто или формулой Марков; при она совпадает с формулой трапеций, при с формулой Симпсона.

1.3 Построение квадратурной формулы для сплайна степени

Пусть отрезок интегрирования непрерывной функции разбит на равных частей точками Шаг разбиения . Пусть функция, аппроксимирующая подынтегральную функцию

На каждом из интервалов расположено узлов в которых Пусть многочлен степени такой что

б) Определенный интеграл от функции на отрезке выражается через значение подынтегральной функции в узлах в виде их линейной комбинации т.е.

Чтобы для выбраной степени сплайна построить квадратурные формулы Гаусса, необходимо найти из условий а) и б) неизвестных:

ѕ неизвестных коэффициентов ;

ѕ координат узлов .

Будем решать задачу одновременно для всех участков . Для этого введем новую переменную , общую для всех интервалов.

Теперь рассмотрим квадратурную формулу Гаусса с тремя узлами При этом необходимо определить шесть величин: Функция многочлен степени

Подставим Учитывая, что получим тождество относительно коэффициентов

В общем случае степень аппроксимирующего полинома равна: где число узлов.

Для трех узлов имеем: т.е. многочлен пятой степени. Коэффициенты при вычисляем из левой части

Приравнивая коэффициенты при в правой и левых частях и учитывая , получим шесть уравнений:

Решение системы нелинейной системы найти очень сложно, однако оказывается, что неизвестное в уравнениях совпадают с нулями многочлена Лежандра:

Нули многочлена принадлежат интервалу: и расположены симметрично середины интервала.

Корни (нули) уравнения находим из:

Т.о. найдены значения системы

Подставим найденные значения в

Теперь находим из

находим с учетом соотношения:

Итак, квадратичная формула Гаусса с тремя узлами имеет вид:

Если имеет непрерывность производной до шестого порядка, то для оценки погрешности формулы Гаусса с тремя узлами можно использовать неравенство:

При вычислении интеграла до достижения заданной точки методом двойного пересчета, условие окончаний вычисления имеет вид:

Где число узлов.

При этом полагают, что: с точностью .

2. Примеры задач и их решения

Пример 1: Найти приближенное значение интеграла по квадратичной формуле Гаусса с тремя узлами для т.е. без разбиения отрезка на части Оценить погрешность вычислений.

С погрешностью не более, чем имеем:

Пример 2: Решить интеграл с помощью квадратурных формул Гаусса для случая трех ординат на конкретном примере:

Начальные условия В силу формулы замены переменной и таблицы (см. приложение 2) абсциссы точек будут иметь следующие значения:

Для оценки остаточной погрешности воспользуемся формулой:

Несмотря на высокую точность квадратурных формул Гаусса, ими пользуются сравнительно редко из-за трудностей при расчетах.

Решение этой задачи было реализовано с помощью программы Microsoft Visual C# 2010 (см. приложение 3).

квадратурный гаусс формула

В данной работе были подробно рассмотрены квадратурные формулы Гаусса, их определение, интегральные конструкции, примеры, четко описывающие квадратуры Гаусса.

В ходе данной работы были собраны и анализированы необходимые для понимания факты по заданной теме, приведены некоторые алгоритмы, позволяющие отследить ход решений задач, использующих квадратурные формулы Гаусса.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Наука, 2006, 630с.

2. Блюмин А.Г., Федотов А.А., Храпов П.В.Численные методы вычисления интегралов и решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Численные методы». — М.: Московский государственный технический университет им. Н.Э.Баумана, 2008. — 74с.

Квадратурные формулы

Основные авторы описания: А.Б.Кукаркин

Содержание

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Задача одномерного численного интегрирования состоит в приближенном вычислении определенного интеграла по отрезку: требуется вычислить

где [math]f(x)[/math] — интегрируемая функция, определенная на отрезке [math][a,b][/math] .

Численное интегрирование оcуществляется с помощью квадратурных формул — приближенных равенств вида

[math]Iapproxsumlimits_^n C_i f(x_i).[/math]

Сумма в правой части называется квадратурной суммой; различные точки [math]x_i[/math] отрезка [math][a,b][/math] называются узлами, а числа [math]C_i[/math] — коэффициентами квадратурной формулы.

Читать еще:  1 x 2 паскаль

Значение квадратурной суммы, принимаемое за приближенное значение интеграла, зависит от выбора узлов [math]x_i[/math] и коэффициентов [math]C_i[/math] . При вычислении значения квадратурной суммы основные временные затраты приходятся на вычисление значений подынтегральной функции в узлах.

Погрешностью квадратурной формулы называется разность

Если функция [math]f(x)[/math] такова, что [math]R_n(f)=0[/math] , то говорят,что квадратурная формула точна для функции [math]f(x)[/math] .

Целое число [math]kge0[/math] называется алгебраической степенью точности квадратурной формулы, если квадратурная формула точна для любого многочлена степени не выше [math]k[/math] и не точна для многочлена степени [math]k+1[/math] .

Если квадратурная формула с [math]n[/math] узлами имеет алгебраическую степень точности [math]k[/math] , то [math]kle 2n-1[/math] .

Широко известны квадратурные формулы, полученные посредством замены подынтегральной функции [math]f(x)[/math] алгебраическим интерполяционным многочленом, значения которого совпадают со значениями функции в [math]n[/math] узлах [math]x_i[/math] ; такие квадратурные формулы называются интерполяционными. Для погрешности интерполяционной квадратурной формулы справедлива оценка

где [math]M_n=maxlimits_|f^<(n)>(x)|[/math] , [math]omega_n(x)=prodlimits_^n (x-x_i)[/math] .

Если интерполяционная квадратурная формула с [math]n[/math] узлами имеет алгебраическую степень точности [math]k[/math] , то [math]kge n-1[/math] .

1.1.1 Формулы Ньютона-Котеса

Формулами Ньютона-Котеса называются интерполяционные квадратурные формулы, [math]n[/math] узлов которых заданы равноотстоящими: [math]x_1=frac2[/math] при [math]n=1[/math] и [math]x_i=a+(i-1)frac, 1le i le n[/math] при [math]ngt 1[/math] .

Свое название эти формулы получили в память того, что они в достаточно общей форме были рассмотрены Исааком Ньютоном, а их коэффициенты при [math]1le nle 10[/math] были найдены Роджером Котесом.

Наиболее известными формулами Ньютона-Котеса являются формула средних прямоугольников ( [math]n=1[/math] )

и формула трапеций ( [math]n=2[/math] )

алгебраическая степень точности каждой из них равна 1, а для их погрешностей справедливы оценки

Формулами Ньютона-Котеса при [math]n=3[/math] и [math]n=4[/math] являются формула Симпсона

которую называют также формулой парабол, и формула трех восьмых

название которой происходит от коэффициента 3/8; алгебраическая степень точности каждой из них равна 3, а для их погрешностей справедливы оценки

Алгебраическая степень точности формулы Ньютона-Котеса с [math]n[/math] узлами равна [math]n-1[/math] при четном [math]n[/math] и равна [math]n[/math] при нечетном [math]n[/math] .

Коэффициенты формул Ньютона-Котеса положительны при [math]1le nle8[/math] и [math]n=10[/math] , а при [math]n=9[/math] и [math]nge11[/math] среди коэффициентов имеются как положительные так и отрицательные.

Положительность коэффициентов квадратурной формулы важна для ее практического применения. Дело в том, что при вычислении интегральной суммы влияние погрешностей округления на точность результата тем сильнее, чем больше [math]sumlimits_^n |C_i|[/math] . Для формул Ньютона-Котеса эта сумма неограниченно возрастает при [math]ntoinfty[/math] . Поэтому при больших [math]n[/math] формулы Ньютона-Котеса оказываются практически непригодными.

Таким образом, для того чтобы использовать квадратурные формулы с большим числом узлов, нужно отказаться или от того, чтобы квадратурная формула была интерполяционной, или от того, чтобы узлы задавались равноотстоящими.

1.1.2 Составные квадратурные формулы

Составными называются квадратурные формулы, построение которых осуществляется следующим образом. Отрезок интегрирования [math][a,b][/math] разбивается на [math]m[/math] отрезков равной длины [math]h=dfracm[/math] . Тогда по свойству аддитивности интеграл может быть вычислен как сумма интегралов по отрезкам разбиения. Для приближенного вычисления каждого из слагаемых этой суммы применяется одна и та же квадратурная формула, называемая исходной.

Алгебраическая степень точности составной квадратурной формулы совпадает с алгебраической степенью точности исходной.

Если в качестве исходной квадратурной формулы выбрать формулу средних прямоугольников, формулу трапеций или формулу Симпсона, то будут получены следующие составные квадратурные формулы:

составная формула средних прямоугольников

[math]Iapprox h,(sumlimits_^m f(a+ih-frac<2>))[/math]

с числом узлов [math]m[/math] и оценкой погрешности

составная формула трапеций

с числом узлов [math]m+1[/math] и оценкой погрешности

составная формула Симпсона

с числом узлов [math]2m+1[/math] и оценкой погрешности

1.1.3 Квадратурные Формулы Гаусса

Как отмечалось выше, если квадратурная формула с [math]n[/math] узлами является интерполяционной, то ее алгебраическая степень точности не меньше [math]n-1[/math] ; при любых заданных узлах построение интерполяционной квадратурной формулы осуществляется за счет выбора ее [math]n[/math] коэффициентов. За счет же выбора [math]n[/math] узлов интерполяционной квадратурной формулы можно добиться того, чтобы она имела возможно более высокую алгебраическую степень точности, а именно [math]2n-1[/math] .

Задача построения такой квадратурной формулы рассматривалась Карлом Фридрихом Гауссом; им была доказана ее разрешимость.

Квадратурная формула с [math]n[/math] узлами, алгебраическая степень точности которой равна [math]2n-1[/math] , называется квадратурной формулой Гаусса или квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности.

В случае отрезка [math][-1,1][/math] квадратурная формула

[math]intlimits_<-1>^1 f(t),dtapproxsumlimits_^n c_i f(t_i)[/math]

является квадратурной формулой Гаусса тогда и только тогда, когда она является интерполяционной, а ее узлы [math]t_i[/math] являются корнями многочлена Лежандра

В частности, при [math]n=2[/math] и [math]n=3[/math] квадратурные формулы Гаусса для отрезка [math][-1,1][/math] таковы:

[math]intlimits_<-1>^1 f(t),dtapprox fleft(-frac1right)+fleft(frac1right),[/math] [math]intlimits_<-1>^1 f(t),dtapproxfrac59;fleft(-sqrtright)+frac89;f(0)+ frac59;fleft(sqrtright).[/math]

Чтобы получить квадратурную формулу Гаусса для произвольного отрезка [math][a,b][/math] , следует сделать замену переменной

в результате которой

Воспользовавшись квадратурной формулой Гаусса для отрезка [math][-1,1][/math] , получим квадратурную формулу Гаусса для отрезка [math][a,b][/math] :

[math]Iapproxfrac2sumlimits_^n c_i f(x_i),[/math]

где [math]x_i=0.5(a+b+(b-a)t_i)[/math] , [math]t_i[/math] — корни многочлена Лежандра [math]P_n(t)[/math] .

Для погрешности квадратурной формулы Гаусса c [math]n[/math] узлами справедлива оценка

Коэффициенты квадратурных формул Гаусса положительны. Поэтому использование квадратурных формул Гаусса с большим числом узлов не приводит к тем осложнениям, которые возникают при использовании формул Ньютона-Котеса.

1.2 Математическое описание алгоритма

Если квадратурная формула выбрана, то алгоритм приближенного вычисления интеграла состоит в вычислении квадратурной суммы, т.е. в вычислении значений функции в [math]n[/math] узлах, умножении их на соответствующие коэффициенты и суммировании полученных чисел.

Исходные данные: функция [math]f(x)[/math] и два одномерных массива [math]n[/math] чисел — массив узлов и массив коэффициентов.

Вычисляемые данные: число, являющееся значением квадратурной суммы и представляющее собой приближенное значение интеграла.

Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты
Adblock
detector
×
×