Каковы модули тангенциального и нормального ускорения

§ 1.27. Тангенциальное, нормальное и полное ускорения

Ускорение при неравномерном криволинейном движении

Пусть в некоторый момент времени t точка занимает положение А (рис. 1.83, а) и имеет скорость v₁, a спустя малое время Δt точка переместилась в положение В₁ приобретя скорость v₂.

Разложим вектор изменения скорости Δ на составляющие Δ_τ и Δ_n (рис. 1.83, б). Первая составляющая направлена по скорости ₁ т. е. по касательной к траектории, проведенной в точке А. Она называется тангенциальной (касательной) составляющей вектора Δ. Составляющая Δ_n ⊥ ₁. Поэтому Δn называется нормальной составляющей приращения скорости Δ. По правилу сложения векторов

Δ = Δ_τ + Δ_n.

Разделим почленно это равенство на Δt и перейдем к пределу при стремлении Δt -» 0:

Каждое слагаемое этого равенства есть составляющая ускорения (см. § 1.15). Левая часть равенства (1.27.1) является полным ускорением точки. Первое слагаемое в правой части называется тангенциальным (касательным) ускорением, второе слагаемое — уже знакомое нам нормальное ускорение.

Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории, так как _t ↑↑ . При ускоренном движении точки (модуль скорости возрастает) касательное ускорение имеет то же направление, что и скорость. При замедленном движении оно направлено противоположно скорости. Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости. Нормальное ускорение ап перпендикулярно скорости и характеризует быстроту изменения направления скорости.

Полное ускорение точки равно сумме тангенциального и нормального ускорений:

На рисунке 1.84, а изображен случай ускоренного движения, а на рисунке 1.84, б — замедленного движения точки.

Модуль нормального ускорения

Мы нашли, как направлены тангенциальное и нормальное ускорения. Выражение для модуля нормального ускорения при движении по окружности радиусом r нам известно:

Если движение происходит вдоль произвольной кривой, то под r надо понимать радиус кривизны траектории в данной точке. Выясним, что такое радиус кривизны кривой линии в точке. Выберем на кривой АВ вблизи точки М с обеих сторон от нее еще две точки: К и L (рис. 1.85). Через три точки К, М и L можно провести единственную окружность. Если точки К и L приближать к точке М, каждый раз проводя через эти три точки окружность, то мы получим серию окружностей разных радиусов, дуги которых вблизи точки М все меньше и меньше будут отличаться от кривой АВ.

В пределе, когда точки К и L сколь угодно близко подходят к точке М, радиус проходящей через них окружности также стремится к предельному значению. Это предельное значение радиусов окружностей и называется радиусом кривизны кривой АВ в точке М.

Модуль тангенциального и полного ускорений

Модуль тангенциального ускорения равен

где dv — приращение модуля скорости за бесконечно малый интервал времени dt. Модуль полного ускорения а. точки можно найти по теореме Пифагора (см. рис. 1.84, а, б):

Полное ускорение направлено по секущей в сторону вогнутости траектории.

Классификация движений

По значениям, которые принимают нормальное и тангенциальное ускорения, можно классифицировать различные движения точки.

Если а_n = 0, то при любых значениях скорости движение точки происходит по прямой линии. Эту прямую можно рассматривать как окружность бесконечно большого радиуса (г —> ∞).

Если а_t = 0 и а_n = 0, но скорость отлична от нуля, то движение по прямой будет равномерным, так как не меняется модуль скорости.

В случае а_n ≠ 0 движение точки криволинейное, так как меняется направление скорости. Когда а_n ≠ 0, а_t = 0, то при движении по кривой линии модуль скорости точки не изменяется — точка движется равномерно.

Если а_t = 0, а_n = const, то точка совершает равномерное движение по окружности.

И наконец, когда оба ускорения ₁ и _n отличны от нуля, то точка движется неравномерно по криволинейной траектории.

В заключение заметим, что если точка движется равномерно по криволинейной траектории, то можно вычислить путь, пройденный точкой, по формуле s = vt.

При произвольном движении вектор ускорения направлен внутрь траектории. Тангенциальная составляющая этого вектора характеризует изменение скорости по модулю, а нормальная составляющая — по направлению.

Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения.

Координата (линейная, угловая).

2)Перемещение ( ) – вектор , соединяющий начальную точку траектории с конечной.

3) Путь ( ) –расстояние пройденное телом от начальной точки до конечной.

4) Линейная скорость :

Скоростью (мгновенной скоростью) движения называется векторная величина, равная отношению малого перемещения к бесконечно малому промежутку времени, за которое это перемещение производится

В проекциях : U_x=

Средняя (путевая) скорость — это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден:

Путевая скорость :

Средняя путевая скорость, в отличие от мгновенной скорости не является векторной величиной.

Можно также ввести среднюю скорость по перемещению, которая будет вектором, равным отношению перемещения ко времени, за которое оно совершено:

Скорость перемещения :

Средняя скорость в общем виде :

Мгновенным ускорением называется векторная величина, равная отношению малого изменения скорости к малому промежутку времени, за который происходило это изменение:

Ускорение характеризует быстроту вектора в данной точке пронстранства.

a_x= =

Среднее ускорение – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

;

Изменение скорости :

Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения.

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Направление вектора тангенциального ускорения τ) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение– это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

Вопрос 2. Описание движения материальной точки (частные случи : равномерное движение по окружности, прямолинейное равномерное движение, равнопеременное движение по окружности).

Равномерное движение по окружности.

Равномерное движение по окружности – это простейший пример криволинейного движения. Например, по окружности движется конец стрелки часов по циферблату. Скорость движения тела по окружности носит название линейная скорость.

При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела с течением времени не изменяется, то есть v (вэ) = const, а изменяется только направление вектора скорости . Тангенциальное ускорение в этом случае отсутствует (a_r = 0), а изменение вектора скорости по направлению характеризуется величиной, которая называется центростремительное ускорение а_ЦС. В каждой точке траектории вектор центростремительного ускорения направлен к центру окружности по радиусу.

Модуль центростремительного ускорения равен
a_ЦС=v 2 / R
Где v – линейная скорость, R – радиус окружности

Когда описывается движение тела по окружности, используется угол поворота радиуса – угол φ, на который за время t поворачивается радиус. Угол поворота измеряется в радианах.

Угловая скорость равномерного движения тела по окружности – это величина ω, равная отношению угла поворота радиуса φ к промежутку времени, в течение которого совершён этот поворот:
ω = φ / t
Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду [рад/с]

Линейная скорость при равномерном движении по окружности направлена по касательной в данной точке окружности.

v = = = Rω или v = Rω

Период обращения – это промежуток времени Т, в течение которого тело (точка) совершает один оборот по окружности. Частота обращения – это величина, обратная периоду обращения – число оборотов в единицу времени (в секунду). Частота обращения обозначается буквой n.
n = 1 / T

T = 2π / ω
То есть угловая скорость равна

ω = 2π / T = 2πn
Центростремительное ускорение можно выразить через период Т и частоту обращения n:
a_ЦС = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

Ускорение. Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения.

ВОПРОСЫ К ТЕОРЕТИЧЕСКОМУ ЗАЧЁТУ ПО ФИЗИКЕ (ЧАСТЬ I ) (для всех специальностей заочного отделения)

В дни, предусмотренные расписанием зачётно-экзаменационных сессий, студенты сдают зачёт/экзамен в электронной форме (в виде тестирования на сайте ДО). В случае неудачи или при неявке на тестирование студентам предоставляется возможность сдачи зачёта/экзамена в устной форме в дополнительный день. Экзаменационные билеты по первой части физики (при устной форме сдачи) включают в себя по два вопроса из приведённого ниже списка.

Модели в механике: материальная точка и абсолютно твёрдое тело. Система отсчета, радиус-вектор, координаты. Путь и перемещение. Скорость.

Материальная точка – это любое тело, размерами которого можно пренебречь.

Абсолютно твердое тело – такая система материальных точек, в которой расстояние между материальными точками не изменяется, т.е. тело не деформируется ни при каких условиях.

Система отсчёта — это совокупность тела отсчёта, связанной с ним системы координат и системыотсчёта времени, по отношению к которой рассматривается движение каких-либо тел.

Система координат – когда выбрано тело отсчета и через какую-нибудь его точку проводят оси координат и положение любой точки в пространстве описывают ее координатами.

Положение тела или точки можно задать относительно какого-нибудь другого тела, которое называется телом отсчета.

Системы координат бывают различными: прямоугольные и косоугольные, полярные, сферические и другие.

Наиболее часто используется декартова система координат. Это прямоугольная система координат, состоящая из трех взаимно перпендикулярных осей, распределенных в пространстве определенным образом.

Развитие тех или иных процессов в физике происходит с течением времени, т.е. время играет роль параметра (переменной), от которой могут зависеть те или иные физические величины. С точки зрения современной физики и само время может зависеть от тех или иных физических процессов (релятивистская физика). Т.о. мы подошли к тому, чтобы сформулировать основную задачу механики, т.е. ту задачу, которая решается всеми тремя разделами механики.

Эта задача состоит в том, чтобы знать положение тела или точки в любой момент времени, или знать зависимость от времени координат тела или точки. Такая зависимость называется кинематическим законом движения, она может быть записана в виде:

íy=f2(t) Координатный способ записи. (1.1)

Векторная форма записи. (1.2)

— радиус-вектор данной точки.

Можно показать, что эти две формы записи представления кинематического закона движения взаимосвязаны. Для этого необходимо знать, что такое радиус-вектор и как он выражается через координаты.

Радиус-вектор точки – это вектор, проведенный из начала координат в данную точку.

.

Через каждую точку пространства можно провести радиус-вектор. — эта формула описывает движение конца вектора в пространстве.

.

Физический смысл — координаты изменяются со временем.

Механическое движение описывается при помощи ряда основных кинематических понятий и величин: траектория, путь, перемещение, скорость, ускорение.

Траектория – линия, которую описывает конец радиус-вектора .

Перемещение тела (материальной точки) — направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение с его последующим движением.

Скоростью равномерного прямолинейного движения называют постоянную векторную величину, равную отношению перемещения тела за любой промежуток времени к значению этого промежутка.

, или

Скорость – величина, измеряемая длиной пути, проходимого в единицу времени.

Ускорение – величина, численно равная изменению скорости в единицу времени.

Путь – длина линии, пройденной за время Dt.

Ускорение. Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения.

Физическая величина, которая определяет быстроту изменения скорости, называется ускорением. Математически ускорение определяется отношением изменения скорости к промежутку времени, за которое оно произошло (производная от скорости по времени): , где – ускорение; – изменение скорости; – промежуток времени, за которое произошло изменение скорости; – производная скорости по времени.

Так как скорость – величина векторная, то она может меняться по модулю и направлению, поэтому ускорение имеет две естественные составляющие: тангенциальную (параллельную вектору скорости) и нормальную (перпендикулярную вектору скорости).

, где – полное ускорение; – тангенциальная составляющая ускорения; – нормальная составляющая ускорения (см. рис. 1).

Рис. 1. Тангенциальная и нормальная составляющие полного ускорения

Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения величины (модуля) скорости. Тангенциальное ускорение всегда коллинеарно скорости.

1) Если тангенциальная составляющая ускорения сонаправлена со скоростью, то движение будет ускоренное (см. рис. 2).

Рис. 2. Тангенциальная составляющая ускорения сонаправлена со скоростью

2) Если тангенциальная составляющая ускорения противонаправлена скорости, то движение будет замедленным (см. рис. 3).

Рис. 3. Тангенциальная составляющая ускорения противонаправлена скорости

Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Нормальное ускорение всегда перпендикулярно скорости и направлено к центру по радиусу траектории, по которой движется тело (см. рис. 4).

Рис. 4. Направление нормального ускорения

Величина нормального ускорения связана с радиусом траектории и со скоростью движения следующим соотношением:

При прямолинейном движении тело имеет только тангенциальное ускорение. Нормальное ускорение отсутствует, так как скорость тела по направлению остаётся неизменной (см. рис. 5).

Рис. 5. Прямолинейное движение

При криволинейном движении, как правило, тело имеет тангенциальную и нормальную составляющую ускорения (см. рис. 6).

Рис. 6. Криволинейное движение

Дата добавления: 2018-06-27 ; просмотров: 619 ;

Полное ускорение и его компоненты. Ускорение тангенциальное и нормальное ускорение. Формулы и пример решения задачи

В кинематике для однозначного определения характеристик движения тела в любой точке траектории необходимо знать его скорость и ускорение. Зависимость от времени этих величин предоставляет всю необходимую информацию для вычисления пройденного телом пути. Рассмотрим подробнее в статье, что такое ускорение тангенциальное и нормальное ускорение.

В физике

Прежде чем рассматривать для механического движения ускорение нормальное и тангенциальное ускорение, познакомимся с самим физическим понятием. Определение ускорения является достаточно простым. В физике под ним понимают характеристику изменения скорости. Последняя является векторной величиной, определяющей быстроту изменения координат движущегося объекта в пространстве. Скорость измеряется в метрах в секунду (расстояние, пройденное за единицу времени). Если ее обозначить символом v¯, тогда математическое определение ускорения a¯ будет выглядеть так:

Это равенство определяет так называемое полное мгновенное ускорение. Мгновенным оно называется потому, что характеризует изменение скорости лишь в данный момент времени.

Если движение является равноускоренным, то есть в течение длительного времени ускорение не меняет своего модуля и направления, тогда можно записать следующую формулу для его определения:

Где Δt>>dt. Величина a¯ здесь называется средним ускорением, которое в общем случае отличается от мгновенного.

Ускорение измеряется в системе СИ в метрах в квадратную секунду (м/с 2 ).

Траектория движения и компоненты полного ускорения

Чаще всего тела в природе движутся по кривым траекториям. Примерами такого перемещения являются: вращение по своим орбитам планет, параболическое падение камня на землю, поворот автомобиля. В случае криволинейной траектории в любой момент времени скорость направлена по касательной к рассматриваемой точке траектории. Как при этом направлено ускорение?

Чтобы ответить на поставленный выше вопрос, запишем скорость тела в следующей форме:

Здесь u_t¯ — вектор скорости единичный, индекс t означает, что он направлен по касательной к траектории (тангенциальная компонента). Символом v обозначен модуль скорости v¯.

Теперь, следуя определению ускорения, можно провести дифференцирование скорости по времени, имеем:

Таким образом, полное ускорение a¯ представляет собой векторную сумму двух компонент. Первое и второе слагаемое называются нормальным и тангенциальным ускорением точки. Подробнее рассмотрим каждую из этих компонент.

Ускорение тангенциальное

Запишем еще раз формулу для этой компоненты полного ускорения:

Это выражение позволяет описать свойства величины a_t¯:

• Она направлена точно так же, как и сама скорость или противоположно ей, то есть по касательной к траектории. Об этом свидетельствует элементарный вектор u_t¯.
• Она характеризует изменение скорости по абсолютной величине, что отражает множитель dv/dt.

Эти свойства позволяют сделать важный вывод: для прямолинейного движения полное и тангенциальное ускорения — это одна и та же величина. В случае криволинейного перемещения полное ускорение всегда больше по модулю, чем тангенциальное. Когда рассматривают физические задачи на прямолинейное равноускоренное движение, то ведут речь именно об этой компоненте ускорения.

Ускорение нормальное

Рассматривая тему скорости, ускорения тангенциального и ускорения нормального, дадим характеристику последней величине. Запишем формулу для нее:

Чтобы записать явно правую часть равенства, воспользуемся следующими соотношениями:

Здесь dL — это пройденный телом путь за промежуток времени dt, r — радиус кривизны траектории. Первое выражение соответствует определению скорости, второе равенство следует из геометрических соображений. Пользуясь этими формулами, получаем конечное выражение для нормального ускорения:

То есть величина a_n¯ не зависит от изменения скорости, как тангенциальная компонента, а определяется исключительно ее модулем. Нормальное ускорение вдоль нормали к данному участку траектории направлено, то есть к центру кривизны. Например, во время движения по окружности вектор a_n¯ направлен к ее центру, поэтому нормальное ускорение называют часто центростремительным.

Если за изменение абсолютной величины скорости ответственно ускорение тангенциальное, то нормальная компонента ответственна за изменение вектора скорости, то есть она определяет траекторию перемещения тела.

Ускорение полное, нормальное и тангенциальное

Разобравшись с понятием ускорения и с его компонентами, приведем теперь формулу, которая позволяет определить полное ускорение. Поскольку рассмотренные компоненты направлены под углом 90 o друг к другу, то для определения абсолютной величины их векторной суммы можно использовать теорему Пифагора. Формула для полного ускорения имеет вид:

Направление величины a¯ можно определить по отношению к вектору любой из компонент. Например, угол между a¯ и a_n¯ вычисляется так:

Учитывая приведенную выше формулу для модуля a¯, можно сделать вывод: при равномерном движении по окружности полное ускорение совпадает с центростремительным.

Решение задачи

Пусть тело движется по окружности радиусом 1 метр. Известно, что его скорость изменяется по следующему закону:

Необходимо определить ускорение тангенциальное и нормальное ускорение в момент t = 4 секунды.

Для тангенциального имеем:

a_t = dv/dt = 4*t + 3 = 19 м/с 2

Для того чтобы найти модуль ускорения нормального, сначала следует вычислить значение скорости в заданный момент времени. Имеем:

v = 2*4 2 + 3*4 = 44 м/с

Теперь можно воспользоваться формулой для a_n:

a_n = v 2 /r = 44 2 /1 = 1936 м/с 2

Таким образом, мы определили все величины, которые требовалось найти для решения задачи.

§ 1.27. Тангенциальное, нормальное и полное ускорения

Ускорение при неравномерном криволинейном движении

Пусть в некоторый момент времени t точка занимает положение А (рис. 1.83, а) и имеет скорость v₁, a спустя малое время Δt точка переместилась в положение В₁ приобретя скорость v₂.

Разложим вектор изменения скорости Δ на составляющие Δ_τ и Δ_n (рис. 1.83, б). Первая составляющая направлена по скорости ₁ т. е. по касательной к траектории, проведенной в точке А. Она называется тангенциальной (касательной) составляющей вектора Δ. Составляющая Δ_n ⊥ ₁. Поэтому Δn называется нормальной составляющей приращения скорости Δ. По правилу сложения векторов

Δ = Δ_τ + Δ_n.

Разделим почленно это равенство на Δt и перейдем к пределу при стремлении Δt -» 0:

Каждое слагаемое этого равенства есть составляющая ускорения (см. § 1.15). Левая часть равенства (1.27.1) является полным ускорением точки. Первое слагаемое в правой части называется тангенциальным (касательным) ускорением, второе слагаемое — уже знакомое нам нормальное ускорение.

Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории, так как _t ↑↑ . При ускоренном движении точки (модуль скорости возрастает) касательное ускорение имеет то же направление, что и скорость. При замедленном движении оно направлено противоположно скорости. Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости. Нормальное ускорение ап перпендикулярно скорости и характеризует быстроту изменения направления скорости.

Полное ускорение точки равно сумме тангенциального и нормального ускорений:

На рисунке 1.84, а изображен случай ускоренного движения, а на рисунке 1.84, б — замедленного движения точки.

Модуль нормального ускорения

Мы нашли, как направлены тангенциальное и нормальное ускорения. Выражение для модуля нормального ускорения при движении по окружности радиусом r нам известно:

Если движение происходит вдоль произвольной кривой, то под r надо понимать радиус кривизны траектории в данной точке. Выясним, что такое радиус кривизны кривой линии в точке. Выберем на кривой АВ вблизи точки М с обеих сторон от нее еще две точки: К и L (рис. 1.85). Через три точки К, М и L можно провести единственную окружность. Если точки К и L приближать к точке М, каждый раз проводя через эти три точки окружность, то мы получим серию окружностей разных радиусов, дуги которых вблизи точки М все меньше и меньше будут отличаться от кривой АВ.

В пределе, когда точки К и L сколь угодно близко подходят к точке М, радиус проходящей через них окружности также стремится к предельному значению. Это предельное значение радиусов окружностей и называется радиусом кривизны кривой АВ в точке М.

Модуль тангенциального и полного ускорений

Модуль тангенциального ускорения равен

где dv — приращение модуля скорости за бесконечно малый интервал времени dt. Модуль полного ускорения а. точки можно найти по теореме Пифагора (см. рис. 1.84, а, б):

Полное ускорение направлено по секущей в сторону вогнутости траектории.

Классификация движений

По значениям, которые принимают нормальное и тангенциальное ускорения, можно классифицировать различные движения точки.

Если а_n = 0, то при любых значениях скорости движение точки происходит по прямой линии. Эту прямую можно рассматривать как окружность бесконечно большого радиуса (г —> ∞).

Если а_t = 0 и а_n = 0, но скорость отлична от нуля, то движение по прямой будет равномерным, так как не меняется модуль скорости.

В случае а_n ≠ 0 движение точки криволинейное, так как меняется направление скорости. Когда а_n ≠ 0, а_t = 0, то при движении по кривой линии модуль скорости точки не изменяется — точка движется равномерно.

Если а_t = 0, а_n = const, то точка совершает равномерное движение по окружности.

И наконец, когда оба ускорения ₁ и _n отличны от нуля, то точка движется неравномерно по криволинейной траектории.

В заключение заметим, что если точка движется равномерно по криволинейной траектории, то можно вычислить путь, пройденный точкой, по формуле s = vt.

При произвольном движении вектор ускорения направлен внутрь траектории. Тангенциальная составляющая этого вектора характеризует изменение скорости по модулю, а нормальная составляющая — по направлению.